logaritmo

log b ⁡ ( x y ) = log b ⁡ ( x ) + log b ⁡ ( y ) . {\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y).\,} Introducción

Los logaritmos, que hacen posible transformar una multiplicación en una suma, una división en una resta, una potencia en un producto y una raíz en una división, tuvieron gran importancia porque simplificaban los cálculos numéricos; hoy en día, con las calculadoras y los ordenadores, las operaciones con logaritmos han cambiado sustancialmente.¹​

Definición

Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = log_b x, lo que permite obtener n.²​

log b ⁡ x = n ⇔   x = b n {\displaystyle \log _{b}x=n\quad \Leftrightarrow \ \quad x=b^{n}\,}

(Esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; si y sólo si b elevado a la n da por resultado a x.)

Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. La base b tiene que ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un número positivo x > 0 y n puede ser cualquier número real (n ∈ R).³​

Así, en la expresión 10² = 100, el logaritmo en base 10 de 100 es 2, y se escribe como log₁₀ 100 = 2.

Propiedades generales

Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; log_b b = 1 ya que b¹ = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); log_b 1=0 ya que b⁰ = 1.

Si el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 <  a < 1 entonces log_b a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞). También usando la identidad logarítmica log_b(x/y)=log_b x - log_b y; puesto que a pertenecer al intervalo 0 <  a < 1, su inverso a^-1 será mayor que uno, con lo que log_b(a)=log_b(1/a^-1) = log_b 1 - log_b(a^-1)= -log_b(a^-1).

Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que cualquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que bⁿ será mayor que cero, bⁿ > 0; en consecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda satisfacer bⁿ = x cuando x sea menor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar, ampliando el dominio de definición al cuerpo de los números complejos C, pudiendo calcular logaritmos de números negativos usando el logaritmo complejo o recurriendo a la fórmula de Euler.

Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión aritmética. Por ejemplo, las potencias de 2 son 1,2,4,8,16,32,64,..., etc. y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4,..., etc. ya que 2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, y 2⁴ = 16, etc. luego log₂ 1 = 0, log₂ 2 = 1, log₂ 4 = 2, log₂ 8 = 3 y log₂ 16 = 4, etc.

Propiedades algebraicas

En esta parte se destaca la capacidad operativa del uso de logaritmos en el sentido de operaciones coligadas; mediante logaritmos, una operación se convierte en otra operación de menor nivel. Por ejemplo, un producto de n factores se reduce a una adición de n sumandos.

Ciertamente, las siguientes proposiciones funcionan como identidades para los valores de su dominio de definición. Sin embargo, el éxito de la invención y uso de los logaritmos, justamente, radicó en poder convertir productos en sumas; cocientes en restas; potencia en producto y raíz de grado n en un cociente. Este hecho permite decir que, en su momento, el uso de logaritmos produjo un cambio revolucionario en los cálculos, empleados en la astronomía, navegación y matemática financiera aplicada a la banca y los negocios colaterales.⁴​ Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:

• El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

log b ⁡ ( x y ) = log b ⁡ ( x ) + log b ⁡ ( y ) {\displaystyle \!\,\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\,}

• El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

log b ⁡ ( x y ) = log b ⁡ ( x ) − log b ⁡ ( y ) {\displaystyle \!\,\log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)\,}

• El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

log b ⁡ ( x y ) = y log b ⁡ ( x ) {\displaystyle \!\,\log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\,}

• El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

log b ⁡ ( x y ) = log b ⁡ ( x ) y {\displaystyle \!\,\log _{b}({\sqrt[{y}]{x}})={\frac {\log _{b}(x)}{y}}\,}

x y = x 1 y {\displaystyle \!\,{\sqrt[{y}]{x}}=x^{\frac {1}{y}}\,}

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer: